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Geometria

O triângulo como figura geométrica

O triângulo como figura geométrica

O triângulo, figura geométrica composta por três segmentos que conectam três vértices diferentes não alinhados, representa uma das formas poligonais fundamentais da geometria. A sua relevância na ciência e na tecnologia remonta à antiguidade, visto que é uma das figuras geométricas mais essenciais e amplamente utilizadas.

Uma característica significativa dos triângulos é a sua invariabilidade, tornando-os elementos cruciais no projeto arquitetônico, como a Torre Eiffel, baseada em uma composição de formas triangulares, e na engenharia, incluindo estruturas fixas para painéis solares. Além disso, desempenham um papel fundamental na geometria, pois todos os polígonos podem ser decompostos em triângulos.

Características dos triângulos

O triângulo como figura geométricaOs triângulos são figuras geométricas fundamentais com diversas características que definem sua estrutura e propriedades. Aqui estão algumas das características mais importantes dos triângulos:

  • Três lados : Triângulos são polígonos que possuem exatamente três lados. Esses lados são segmentos de linha que conectam três pontos chamados vértices.
  • Três ângulos : Cada triângulo consiste em três ângulos internos em seus vértices.
  • Soma dos ângulos : Em um triângulo, a soma dos ângulos internos é igual a 180 graus. Isto é válido para qualquer tipo de triângulo, seja equilátero, isósceles ou escaleno.
  • Lados e ângulos correspondentes : Em um triângulo, os lados e ângulos correspondentes são iguais em triângulos congruentes. Congruência refere-se à igualdade de forma e tamanho.
  • Altura e mediana : Em um triângulo, a altura é um segmento de reta perpendicular a um lado e que passa pelo vértice oposto. A mediana é um segmento que conecta um vértice ao ponto médio do lado oposto.

Tipos de triângulos

Estas figuras geométricas podem ser classificadas de acordo com diferentes critérios: 

Devido ao tamanho dos ângulos internos pode ser:

  • Triângulo agudo : todos os ângulos internos são agudos (menos de 90 graus).
  • Triângulo obtuso : existe um ângulo maior que 90 graus.
  • Triângulo retângulo : um dos ângulos mede 90 graus, um ângulo reto. Nesse caso, os dois lados que formam um ângulo reto são chamados de catetos e o lado oposto ao ângulo reto é chamado de hipotenusa.

Como na geometria euclidiana a soma dos ângulos de um triângulo é 180º. Portanto, pelo menos dois ângulos do triângulo devem ser agudos (menos de 90º).

Devido ao número de lados iguais, esses números podem ser:

  • Triângulo escaleno : os três lados não são iguais.
  • Triângulo isósceles s: dois lados são iguais. Esses lados são chamados de lado, o terceiro lado é chamado de base. Em um triângulo isósceles, os ângulos da base são iguais.
  • Triângulo equilátero : todos os três lados são iguais. Em um triângulo equilátero, todos os ângulos são iguais a 60°.

Calcular a área e o perímetro de um triângulo

Com base na figura abaixo, para obter o perímetro e a área de um triângulo, podemos utilizar as seguintes fórmulas:

Perímetro

Para calcular o perímetro basta somar os comprimentos dos lados da figura: a + b + c.

Área

A fórmula para encontrar a área de um triângulo é metade do produto da base (não dos lados) pela altura:

A = (b h) / 2

Caso não saibamos a altura, podemos aplicar a fórmula de Heron.

Fórmula de Heron, cálculo da área de um triângulo

Onde:

  • a, b e c correspondem aos três lados da figura geométrica.

  • A é a área

  • s é o semiperímetro (encontre o perímetro e divida por dois):

semiperímetro de um triângulo

No caso de um triângulo retângulo, um dos catetos é a base e o outro corresponde à altura. Assim fica mais fácil calcular a área.

Propriedades e teoremas

Teorema de Pitágoras

O triângulo como figura geométricaO teorema de Pitágoras é um dos resultados geométricos mais famosos e úteis. Aplica-se a triângulos retângulos, aqueles com ângulo reto (90 graus). O teorema afirma que num triângulo retângulo, o quadrado do comprimento da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos comprimentos dos outros dois lados. Matematicamente, é expresso como:

a² + b² = c²

Onde “a” e “b” são os comprimentos dos catetos e “c” é o comprimento da hipotenusa.

O teorema de Pitágoras é fundamental em geometria e trigonometria e é aplicado a uma ampla variedade de problemas, desde o cálculo de distâncias em mapas até a resolução de equações quadráticas.

Teorema da Bissetriz

O teorema da bissetriz refere-se à bissetriz de um ângulo em um triângulo. Afirma que a bissetriz de um ângulo divide o lado oposto ao ângulo em dois segmentos que são proporcionais aos outros dois lados do triângulo. Matematicamente, é expresso como:

a/d = b/e

Onde "a" e "b" são os comprimentos dos lados do triângulo e "d" e "e" são os comprimentos dos segmentos em que a bissetriz divide o lado oposto.

Este teorema é útil para calcular segmentos em triângulos e encontrar pontos de intersecção em ângulos bissetores.

Teorema de Tales

O teorema de Tales é uma ferramenta poderosa para relacionar segmentos em triângulos semelhantes. Afirma que se uma reta paralela corta dois lados de um triângulo, ela divide esses lados em segmentos proporcionais. Matematicamente, é expresso como:

m/n = p/q

Onde "m" e "n" são os comprimentos dos segmentos de um lado do triângulo e "p" e "q" são os comprimentos dos segmentos correspondentes do outro lado.

O teorema de Tales é fundamental na resolução de problemas geométricos e na demonstração das propriedades de triângulos semelhantes.

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Data de Publicação: 28 de abril de 2022
Última Revisão: 30 de outubro de 2023